Question

cm BĐT \(\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ac}{a+c}< =\frac{a+b+c}{2}\)

Answer 1

cách 1:Áp dụng BĐT C-S ta có:

+)\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{4}\ge\frac{ab}{a+b}\left(1\right)\)

+)\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)

\(\Leftrightarrow\frac{b+c}{4}\ge\frac{bc}{b+c}\left(2\right)\)

+)\(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)

\(\Leftrightarrow\frac{c+a}{4}\ge\frac{ca}{c+a}\left(3\right)\)

Cộng 3 vế (1);(2) và (3) ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

Answer 2

cách 2:Bđt <=> 1/(ac+bc) + 1/(ab+ac) + 1/ (ab+bc) <= 1/(2ab) +

1/(2bc) +1/(2ca) 
 

Áp dụng bđt 1/x+1/y>=4/(x+y)(x,y>0) ta có: 
 

1/(2ab)+1/(2ac) >= 2/(ab+ac) 
 

1/(2ab)+1/(2bc) >= 2/(ab+bc) 
 

1/(2ac)+1/(2bc) >= 2/(ac+bc). 
 

Cộng vào có đpcm. Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c