Question

Chứng minh rằng nếu \(a>\sqrt[3]{36},abc=1\) thì \(\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ac\)

 

Answer 1

Ta có : \(\frac{a^2}{3}+b^2+c^2>ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{4}-a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2\right)+\frac{a^2}{12}-3bc>0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-c\right)^2+\frac{a^2}{12}-\frac{3}{a}>0\) (vì abc = 1)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{2}-b-c\right)^2+\frac{a^3-36}{12a}>0\) 

Vì \(a>\sqrt[3]{36}>0\) nên bđt cuối luôn đúng

Suy ra bđt ban đầu được chứng minh