Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Sida

Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương thì : 

\(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{2}{3}\)

Hoàng Lê Bảo Ngọc
11 tháng 9 2016 lúc 12:25

Ta có : \(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a+b+c+d\right)^2\ge8\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+6\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge8\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(b^2-2bd+d^2\right)+\left(c^2-2cd+d^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(c-d\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt ban đầu được chứng minh


Các câu hỏi tương tự
Sida
Xem chi tiết
bảo minh
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Nguyễn Yến Vy
Xem chi tiết
Nguyễn Yến Vy
Xem chi tiết
Toàn Trần
Xem chi tiết
Toàn Trần
Xem chi tiết
Huy vũ quang
Xem chi tiết
Sida
Xem chi tiết