ai nhanh mk tang 3 k
nhì 2 k
ba 1 k
khuyến khích nghỉ
Ta có
( a - b) ² >= 0
<=> a² - 2ab + b² >= 0
<=> a² + b² >=2ab
<=> 2 ( a² + b² ) >= a² +2ab + b²
<=> 2 (a² + b² ) >= ( a + b )² mà a+b=1 nên 2 ( a² + b² ) >=1
<=> a² + b² >= 1/2
Dấu “ = " xảy ra khi và chỉ khi : a=b mà a+b=1 nên a=b=1/2
Ta có: a + b = 1 ⇔ b = 1 – a
Thay vào bất đẳng thức a2 + b2 ≥ 1/2 , ta được:
a2 + (1 – a)2 ≥ 1/2 ⇔ a2 + 1 – 2a + a2 ≥ 1/2
⇔ 2a2 – 2a + 1 ≥ 1/2 ⇔ 4a2 – 4a + 2 ≥ 1
⇔ 4a2 – 4a + 1 ≥ 0 ⇔ (2a – 1)2 ≥ 0 (luôn đúng)
Vậy bất đẳng thức được chứng minhTa có: a + b = 1 ⇔ b = 1 – a
Study well *_*
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz
\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)
Cho em thử :D
Đặt \(a=x+\frac{1}{2};b=y+\frac{1}{2}\) thì x +y =0
Ta cần c/m: \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{1}{2}\)
Ta có: \(VT=x^2+x+\frac{1}{4}+y^2+y+\frac{1}{4}\)
\(=\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)+\frac{1}{2}\)
\(=x^2+y^2+0+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x =y = 0 tức là a =b = 1/2
