Question

Chứng minh quy nạp bất đẳng thức Cauchy:

\(\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1.x_2...x_n}\)(x₁, x₂,...,x_n không âm, n dương)

Answer 1

Phát biểu bất đẳng thức Cosy hay bất đẳng thức AM-GM:

Với n số không âm a_i với i=1,2,...,n ta có bất đẳng thức :

a_1 + a_2 + ... + a_3 >= n.(căn bậc n của (a_1.a_2....a_n))

Trường hợp n =1 hiển nhiên đúng.
Trường hợp n=2 ta có
a_1+a_2>= 2.(căn hai của (a_1.a_2))
<=>(căn bậc hai của(a_1) - căn bậc hai của (a_2))>= 0 (đúng)

Không mất tính tổng quát giả sử bđt đúng với n = k. Ta sẽ chứng mình bđt đúng với n=2k. Thật vậy
Ta có
[ a_1 + a_2 + ... + a_(k -1) + a_k ]+[a_(k+1) + ... + a_(2k-1) + a_2k]
>= k.(căn bậc k của (a_1.a_2....a_k)) + k.(căn bậc k của (a_(k+1).a_(k+2)....a_2k))
>= 2k căn bậc 2k của (a_1.a_2...a_2k).

Bây giờ ta sẽ chứng minh đúng khi n=k-1
Ta có
a_1+a_2+...+a_(k-1) + căn bậc (k-1) của (a_1.a_2....a(k-1))
>= k . (căn bậc k của (a_1.a_2...a_(k-1).(căn bậc (k-1)của(a_1.a_2...a(k-1))) = k.(căn bậc (k-1) của (a_1.a_2...a_(k-1)). đpcm

Như vậy ta đã chứng minh bđt đúng khi n=2k và n=k-1. Đây là kiểu cm quy nạp lùi.