Với `a,b > 0` ta có:
\(=>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}}=\dfrac{2}{\sqrt{ab}}\) (bất đẳng thức cô-si)
\(=>a+b\ge2\sqrt{ab}\) (bất đẳng thức cô-si)
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{ab}}=4\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra: `a=b`
Áp dụng vào bài với x,y > 0 ta có:
\(\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{6y}\ge\dfrac{4}{2x+6y}=\dfrac{4}{2\left(x+3y\right)}=\dfrac{2}{x+3y}\)
Dấu "=" xảy ra: `2x=6y<=>x=3y`
Đúng 2
Bình luận (3)
