Question

cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O,R) . Các đg cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

Tia AO cắt (O) tại K.CM AB.AC=AD.AK

Answer 1

Vì AK là đường kính \(\Rightarrow\angle ACK=90\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AKC:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ADB=\angle ACK=90\\\angle AKC=\angle ABD\left(ABKCnt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta AKC\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AK}{AC}\Rightarrow AB.AC=AK.AD\)

Answer 2

xét tam giác ABC nội tiếp (O) có 

góc ABC=góc AKC(góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

có AD là đường cao=>góc ADB=90 độ(1)

lại có AO cắt (O) tại K=>AK là đường kính (O)

=>tam giác AKC nội tiếp (O)=> góc ACK=90 độ(2)

từ(1)(2)=>góc ADB=góc ACK(=90 độ)(3)

lại có góc ABC=góc AKC(cmt) hay góc ABD=góc AKC(4)

từ(3)(4)=> tam giác ABD đồng dạng tam giác AKC(g.g)

=>\(\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}=>AB.AC=AD.AK\left(dpcm\right)\)