Question

cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE = BA, trên tia BA lấy điểm F sao cho BF = BC. Kẻ BD là tia phân giác của gó ABC ( D thuộc AC ). Chứng minh rằng

a) DE vuông góc BC; AE vuông góc BD

b) AD < DC 

c) tam giác ADF = tam giác EDC

d) 3 điểm D,E,F thẳng hàng

Answer 1

a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBED

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)

=>DE\(\perp\)BC

Ta có: ΔBAD=ΔBED
=>DA=DE
=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)

Ta có: BA=BE

=>B nằm trên đường trung trực của AE(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AE

=>BD\(\perp\)DE

b: Ta có: AD=DE
mà DE<DC(ΔDEC vuông tại E)

nên DA<DC
c: Ta có: BA+AF=BF

BE+EC=BC

mà BA=BE và BF=BC

nên AF=EC

Xét ΔDAF vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

AF=EC

Do đó: ΔDAF=ΔDEC

d: Ta có: ΔDAF=ΔDEC

=>\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\)

=>\(\widehat{ADF}+\widehat{ADE}=180^0\)

=>E,D,F thẳng hàng

Answer 2

a) Ta biết BE = BA (do E nằm trên tia BA và BE = BA).
Vì BD là tia phân giác của góc ABC, nên góc ABD = góc DBC.
Do đó, góc ABE = góc EBC.
Nhưng góc ABE = góc AED (do AB = AE).
Vậy góc EBC = góc AED.
Từ đó, ta có DE vuông góc BC và AE vuông góc BD.
AD < DC:

b) Ta biết BE = BA và BF = BC.
Vì BD là tia phân giác của góc ABC, nên góc ABD = góc DBC.
Do đó, góc ABE = góc EBC.
Nhưng góc ABE = góc AEF (do AB = AE và BF = BC).
Vậy góc EBC = góc AEF.
Từ đó, ta có góc AED = góc EDC.
Vì góc AED < góc ADC (vì góc AED = góc EDC và góc AED + góc ADC = 90°), nên ta có AD < DC.
tam giác ADF = tam giác EDC:

c) Ta biết góc ADF = góc EDC (vì DE vuông góc BC và AE vuông góc BD).
Ta cũng biết góc AFD = góc ECD (vì góc AED = góc EDC).
Vậy tam giác ADF = tam giác EDC (do có hai góc bằng nhau).
3 điểm D, E, F thẳng hàng:

d) Ta đã chứng minh góc AED = góc EDC.
Vì góc AED + góc EDC = 90°, nên ta có góc AED = góc EDC = 45°.
Do đó, góc AEF = 90° (vì góc AEF = 180° - góc AED).
Vậy 3 điểm D, E, F thẳng hàng.