Question

cho tam giác ABC có ba góc nhọn;đường tròn đường kính BC cắt ab,ac lần lượt tại D và E;gọi H là giao điểm của BE và CD;F là giao điểm của AH với BC
a) chứng minh tứ giác ADHE là tứ giác nội tiếp và BH.BE=BF.BC
 

Answer 1

a:

Gọi O là trung điểm của BC

=>O là tâm đường tròn đường kính BC

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó; ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADHE là tứ giác nội tiếp

Xét ΔABC có

BE,CD là các đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại F

Xét ΔBFH vuông tại F và ΔBEC vuông tại E có

\(\widehat{FBH}\) chung

Do đó: ΔBFH~ΔBEC

=>\(\dfrac{BF}{BE}=\dfrac{BH}{BC}\)

=>\(BF\cdot BC=BH\cdot BE\)