Question

cho tam giác ABC có AB=c, AC=b, BC=a. gọi l\(_a\), l\(_b\),l\(_c\) lần lượt là độ dài 3 đường phân giác tương ứng với cạnh BC,AC,AB. chứng minh \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)< \(\frac{1}{l_{ }a}\)+\(\frac{1}{l_b}\)+\(\frac{1}{l_c}\)

Answer 1

giả sử AD là đường phân giác kẻ từ A, AB=c,AC=b

từ B kẻ BE//AD cắt tia đối của AC ở E

dễ dàng chứng minh được tam giác ABE cân ở A=> AB=AE=c

áp dụng hệ quả định lý tales:AD//BE\(\Rightarrow\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{CE}\Leftrightarrow\frac{l_a}{BE}=\frac{b}{b+c}\)

mà BE<AB+AE=2c(BĐT tam giác)

=>\(\frac{b}{b+c}>\frac{l_a}{2c}\Rightarrow l_a< \frac{2bc}{b+c}\Rightarrow\frac{1}{l_a}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

tương tự:\(\frac{1}{l_b}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\);\(\frac{1}{l_c}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

cả 2 vế đều dương,cộng vế với vế:\(\frac{1}{l_a}+\frac{1}{l_b}+\frac{1}{l_c}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)