Question

Cho tam giác ABC cân tại A, AM là đường cao. Gọi N là trung điểm của AC. D là điểm đối xứng của M qua N. 

a, CMR: Tứ giác ADCM là hình chữ nhật 

b, CMR: Tứ giác ABMD là hình bình hành và BD đi qua trung điểm O của AM 

c, BD cắt AC tại I. CMR: DI = 2/3 OB 

Answer 1

a: Xét tứ giác ADCM có

N là trung điểm chung của AC và DM

nên ADCM là hình bình hành

mà góc AMC=90 độ

nên ADCM là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác ABMD có

AD//BM

AD=BM

Do đó: ABMD là hình bình hành

Suy ra: AM cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

Answer 2

*Hình tự vẽ*

a)

N là trung điểm của AC

D đối xứng với M qua N => DN=MN=> N là trung điểm của DM

Xét tứ giác ADCM có:

N là trung điểm của AC

N là trung điểm của DM

=> tứ giác ADCM là hình bình hành

Ta có:

Xét hình bình hành ADCM có:

góc AMC = 90 độ ( AM là đường cao )

=> Hình bình hành ADCM là Hình chữ nhật

b)

Vì :

+ tứ giác ADCM là hình chữ nhật => AC=DM, AD=CM ( tính chất của hình chữ nhật )

Xét Tam giác ABC có:

+ tam giác ABC cân tại A => AC=AB ( 2 cạnh bên trong tam giác cân )

+ AM là đường cao => AM vừa là đường cao và vừa là đường trung tuyến trong tam giác ABC ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân ) 

+ AM là đường trung tuyến (cmt) => CM=BM 

Ta lại có:

AC=DM(cmt) mà AC=AB(cmt) => DM=AC=AB

AD=CM(cmt) mà CM=BM(cmt) => AD=CM=BM

Xét tứ giác ABMD có:

DM=AB(cmt)

AD=BM(cmt)

=> tứ giác ABMD là hình bình hành (đpcm)

Ta có:

Tứ giác ABMD là hình bình hành (cmt)

=> AM cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AM (gt)

=> BD cắt AM tại O hay BD đi qua trung điểm O của AM (đpcm)

c)

Ta có:

Xét tam giác ADM có:

DO là đường trung tuyến ( O là trung điểm của AM )(1)

AN là đường trung tuyến ( N là trung điểm của DM )(2)

DO cắt AN tại I

=> đường thẳng từ góc AMD đi qua I sẽ cắt AD Tại trung điểm của AD

Gọi đường thẳng từ góc AMD cắt AD tại X =>MX là đường trung tuyến(3)

Từ (1); (2) và (3) => 3 đường trung tuyến AN, DO và MX cắt nhau tại I

=>DI=2/3DO

Vì : tứ giác ABMD là hình bình hành => DO=OB ( t/c hình bình hành)

Ta lại có:

DI=2/3DO mà DO=OB => DI=2/3OB (đpcm)