Cho \(S=\left\{1,2,...,n\right\}\), \(A_i\subset S\), \(i=\overline{1,k}\) thỏa mãn các điều kiện sau:
i) \(\left|A_i\right|\ge\dfrac{n}{2},\forall i=\overline{1,k}\)
ii) \(\left|A_i\cap A_j\right|\le\dfrac{n}{4},\forall i\ne j;i,j=\overline{1,k}\)
Chứng minh rằng \(\left|A_1\cup A_2\cup...\cup A_k\right|\ge\dfrac{kn}{k+1}\)
cho \(n\in N\) Xét đa thức \(P\left(x\right)\in R\left(x\right)\) thỏa mãn \(\left|P\left(k\right)-3^k\right|< 1\), k=1,2...,n. Chứng minh rằng \(degP\left(x\right)\ge n\)
Cho \(n\) điểm \(A_1,A_2,...,A_n\) trong không gian, trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng \(\left(n\ge2\right)\). Mỗi cặp điểm \(A_i,A_j\) được nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Mỗi đoạn thẳng được tô bởi một trong hai màu: xanh hoặc đỏ. Tìm \(n\) lớn nhất sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
a) Với mỗi \(1\le i\le n\), số đoạn thẳng có một đầu mút là \(A_i\) được tô màu xanh không vượt quá 4.
b) Với mỗi đoạn \(A_iA_j\) được tô màu đỏ, tồn tại điểm \(A_k\) khác \(A_i,A_j\) sao cho các đoạn \(A_kA_i\) và \(A_kA_j\) đều được tô màu xanh.
Cho dãy số \(\left(a_n\right)\) xác định bởi công thức:
\(\hept{\begin{cases}a_1=1;a_2=2;\\na_{n+2}=\left(3n+2\right)a_{n+1}-2\left(n+1\right)a_n;n=1;2;3...\end{cases}}\)
a) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy \(\left(a_n\right)\)
b)Chứng minh \(\sqrt{a_1-1}+\sqrt{a_2-1}+...+\sqrt{a_n-1}\ge\frac{n\left(n+1\right)}{2};\forall n\inℕ^∗\)
c) Tính \(lim\left(\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{3^2}+...+\frac{a_n}{3^n}\right)\)
Cho dãy số \(\left(x_n\right)^{+\infty}_{n=1}\) như sau: \(x_1=a>2\) và
\(x_{n+1}=x_n^2-2,\forall n=1,2,...\)
Tìm \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_1x_2}+\dfrac{1}{x_1x_2x_3}+...+\dfrac{1}{x_1x_2...x_n}\right)\)
Cho \(X\subseteqℕ^∗\) và thỏa mãn 2 điều kiện sau:
i) \(\exists x,y\in X:gcd\left(x,y\right)=1\)
ii) \(\forall a,b\in X:a+b\in X\)
Xét \(T=ℕ^∗\backslash X\), đặt \(S\left(T\right)=\sum\limits^{ }_{a\in T}a\)
a) CMR T là tập hữu hạn
b) CMR \(\left|T\right|\ge\sqrt{S\left(T\right)}\)
(Câu a mình làm được rồi nên các bạn giúp mình làm câu b nhé. Thanks in advance.)
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn?
A. Dãy \(\left(a_n\right)\), với \(a_n=\sqrt{n^3+n},\forall n\in N^*\).
B. Dãy \(\left(b_n\right)\), với \(b_n=n^2+\dfrac{1}{2n},\forall n\in N^*\).
C. Dãy \(\left(c_n\right)\), với \(c_n=\left(-2\right)^n+3,\forall n\in N^*\).
D. Dãy \(\left(d_n\right)\), với \(d_n=\dfrac{3n}{n^3+2},\forall n\in N^*\).
Nếu được thì giải thích chi tiết từng đáp án giúp mình với ạ, mình cảm ơn!
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn?
A. Dãy \(\left(a_n\right)\), với \(a_n=\sqrt{n^3+n},\forall n\in N^*\).
B. Dãy \(\left(b_n\right)\), với \(b_n=n^2+\dfrac{1}{2n},\forall n\in N^*\).
C. Dãy \(\left(c_n\right)\), với \(c_n=\left(-2\right)^n+3,\forall n\in N^*\).
D. Dãy \(\left(d_n\right)\), với \(d_n=\dfrac{3n}{n^3+2},\forall n\in N^*\).
Nếu được thì giải thích chi tiết từng đáp án giúp mình với ạ, mình cảm ơn!
cho a b c là 3 số thực dương
chưng minh: \(\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)
1) Tính giới hạn \(K=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\dfrac{3.2^n-3^n}{2^{n+1}+3^{n+1}}\right)\)
2) Tính giới hạn \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\dfrac{3^n-4^{n+1}}{3^{n+2}+4^n}\right)\)
