Question

 Cho phương trình x ^ 2 - (2m + 1) * x + m ^ 2 + 1 = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị m thuộc Z để phương trình có hai nghiệm phân biệt x_{1} x_{2} sao cho biểu thức P = (x1x2)/(x1+ x2) có giá trị là số nguyên.

Answer 1

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+1\right)\)

\(=4m^2+4m+1-4m^2-4\)

=4m-3

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>4m-3>0

=>4m>3

=>\(m>\frac34\)

Theo Vi-et, ta có:

\(x_1+x_2=2m+1;x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2+1\)

\(P=\frac{x_1x_2}{x_1+x_2}=\frac{m^2+1}{2m+1}\)

Để P là số nguyên thì \(m^2+1\) ⋮2m+1

=>\(2m^2+2\) ⋮2m+1

=>\(2m^2+m-m+2\) ⋮2m+1

=>-m+2⋮2m+1

=>-2m+4⋮2m+1

=>-2m-1+5⋮2m+1

=>5⋮2m+1

=>2m+1∈{1;-1;5;-5}

=>2m∈{0;-2;4;-6}

=>m∈{0;-1;2;-3}

Thay lại vào P, ta sẽ thấy các giá trị m thỏa mãn là m=0; m=-1; m=2; m=-3

=>m∈{0;-1;2;-3}