Question

Cho phương trình bậc hai x^2 − ( m + 2 ) x + 2 m = 0 (m là tham số). a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn điều kiện x1^2+ ( m + 2 ) x 2 = 12.

 

Answer 1

a) \(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\cdot2m=\left(m-2\right)^2\ge0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Pt luôn có hai nghiệm \(x_1;x_2\) với mọi m

b) Để pt có hai nghiệm pb thì \(\Delta>0\Leftrightarrow m\ne2\)

Theo hệ thức Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(x_1^2+\left(m+2\right)x_2=12\)

\(\Rightarrow x_1^2+\left(x_1+x_2\right)x_2=12\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+x_1x_2=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=12\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2m=12\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(ktm\right)\\m=-4\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy m = -4 là giá trị cần tìm.

$\text{#}Toru$

Answer 2

(a) Phương trình có:

\(\Delta=\left[-\left(m+2\right)\right]^2-4\cdot1\cdot2m\)

\(=m^2+4m+4-8m\)

\(=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\).

Vậy: Phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m.\)

(b) Theo định lí Vi-ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m+2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m\end{matrix}\right.\).

\(x_1\) là nghiệm của phương trình nên: \(x_1^2-\left(m+2\right)x_1+2m=0\Leftrightarrow x_1^2=\left(m+2\right)x_1-2m\).

Thay vào biểu thức của đề, suy ra: \(\left(m+2\right)x_1-2m+\left(m+2\right)x_2=12\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(x_1+x_2\right)-2m-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2m-12=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m-8=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-4\end{matrix}\right.\).

Vậy: \(m\in\left\{-4;2\right\}\)