cho nửa đường tròn tâm O,đường kính AB.Vẽ các tiếp tuyến Ax,By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB.Từ điểm M trên nửa đường tròn(M khác A,B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn,cắt Ax và By lần lượt tại C và D
a,CHứng minh tam giác COD đồng dạng tam giác AMB
b,Chứng minh MC.MD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn
c,Cho OC=BA=2R.Tính AC và BD theo R
a: Xét (O) có
CM,CA là tiếp tuyến
DO đó: CM=CA và OC là phân giác của góc AOM
=>C nằm trên đường trung trực của MA(1)
Ta có: OA=OM
=>O nằm trên đường trung trực của MA(2)
từ (1) và (2) suy ra CO là đường trung trực của MA
OC là phân giác của góc AOM
=>\(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
DM=DB
nên D nằm trên đường trung trực của BM(3)
OM=OB
=>O nằm trên đường trung trực của BM(4)
Từ (3) và (4) suy ra OD là là đường trung trực của BM
Ta có: OD là phân giác của góc MOB
=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)
Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\widehat{MOC}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)
=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)
=>\(\widehat{COD}=90^0\)
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
Xét tứ giác OACM có
\(\widehat{OAC}+\widehat{OMC}=90^0+90^0=180^0\)
=>OACM là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{OAM}=\widehat{OCM}\)
Xét ΔCOD vuông tại O và ΔAMB vuông tại M có
\(\widehat{OCD}=\widehat{MAB}\)(cmt)
Do đó: ΔCOD đồng dạng với ΔAMB
b: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2\)
=>\(MC\cdot MD=R^2\) không đổi khi M di chuyển trên (O)
c: AB=2R
=>OA=OB=AB/2=R
Ta có: ΔCAO vuông tại A
=>\(CA^2+AO^2=CO^2\)
=>\(CA^2+R^2=\left(2R\right)^2\)
=>\(CA^2=3R^2\)
=>\(CA=R\sqrt{3}\)
\(MC\cdot MD=R^2\)
mà MC=AC và DM=DB
nên \(AC\cdot BD=R^2\)
=>\(BD\cdot R\sqrt{3}=R^2\)
=>\(BD=\dfrac{R}{\sqrt{3}}\)
