Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng có bờ là AB, chứa nửa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Từ điểm M tùy ý thuộc nửa đường tròn (M ≠ A, B), vẽ tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại C, D. Gọi CO ∩ AM = {E}; DO ∩ BM = {F}.
a) Chứng minh 4 điểm A, C, M, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh CD = AC + BD và tứ giác MEOF là hình chữ nhật.
c) Chứng minh tích AC.BD không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.
d) Tìm vị trí của M trên nửa đường tròn sao cho diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
a: Xét tứ giác CAOM có \(\widehat{CAO}+\widehat{CMO}=90^0+90^0=180^0\)
nên CAOM là tứ giác nội tiếp
=>C,A,O,M cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
Ta có: CD=CM+MD
mà CM=CA và DM=DB
nên CA+DB=CD
Ta có: CM=CA
=>C nằm trên đường trung trực của MA(1)
Ta có: OA=OM
=>O nằm trên đường trung trực của AM(2)
Từ (1),(2) suy ra OC là đường trung trực của AM
=>OC\(\perp\)AM tại E và E là trung điểm của MA
Ta có: ΔOMB cân tại O
mà OD là đường phân giác
nên OD\(\perp\)MB tại F và F là trung điểm của MB
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
Xét tứ giác MEOF có \(\widehat{MEO}=\widehat{MFO}=\widehat{FME}=90^0\)
nên MEOF là hình chữ nhật
c: MEOF là hình chữ nhật
=>\(\widehat{EOF}=90^0\)
=>ΔCOD vuông tại O
Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2=R^2\)
mà CM=CA và DM=DB
nên \(CA\cdot DB=R^2\)(ĐPCM)
