Question

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh bên AA'=2a,AB=AC =a, góc B A C ^ = 120 ° . Gọi M là trung điểm của BB' thì cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AC'M) là:

A.  3 31

B.  5 5

C.  3 15

D.  93 31

Answer 1

Đáp án D

Nhận thấy ∆ A B C  là hình chiếu của ∆ A M C '  lên mặt phẳng (ABC).

Gọi φ  là góc giữa (AMC') và ( A B C ) ⇒ S ∆ A B C = S ∆ A M C ' . cos φ ⇒ cos φ = S ∆ A B C S ∆ A M C '  

Ta có S ∆ A B C = 1 2 a 2 . sin 120 ° = a 2 3 4  

A ' C = a 5 ; A M = a 2 ; B C = a 2 + a 2 - 2 a cos 120 ° = a 3 ⇒ C ' M = 2 a

Đặt  p = a 5 + a 2 + 2 a 2

⇒ S ∆ A M C ' = p ( p - a 2 ) ( p - a 5 ) ( p - 2 a ) = 31 4 a 2

⇒ cos φ = a 2 3 4 . 4 31 a 2 = 3 31 = 93 31