a: Ta có: BC=AD(ABCD là hình bình hành)
\(BE=EC=\dfrac{BC}{2}\)(E là trung điểm của BC)
\(FA=FD=\dfrac{AD}{2}\)(F là trung điểm của AD)
Do đó: BE=EC=FA=FD
Xét tứ giác ABEF có
BE//AF
BE=AF
Do đó: ABEF là hình bình hành
Hình bình hành ABEF có \(BE=BA\left(=\dfrac{BC}{2}\right)\)
nên ABEF là hình thoi
b: Ta có: AB=BE(=BC/2)
AB=BI
Do đó: BI=BE
Ta có: BC//AD
=>\(\widehat{IBC}=\widehat{IAD}\)(hai góc đồng vị)
mà \(\widehat{IAD}=60^0\)
nên \(\widehat{IBC}=60^0\)
Xét ΔBIE có BI=BE và \(\widehat{IBE}=60^0\)
nên ΔBIE đều
=>\(\widehat{EIB}=60^0\)
=>\(\widehat{EIA}=60^0\)
ABEF là hình thoi
=>EF//AB
=>EF//AI
Xét tứ giác AFEI có EF//AI
nên AFEI là hình thang
Hình thang AFEI có \(\widehat{EIA}=\widehat{IAF}\left(=60^0\right)\)
nên AFEI là hình thang cân
c: Xét ΔABF có AB=AF(=AD/2) và \(\widehat{BAF}=60^0\)
nên ΔABF đều
=>\(BF=AB=\dfrac{AD}{2}\)
Xét ΔBAD có
BF là đường trung tuyến
\(BF=\dfrac{AD}{2}\)
Do đó: ΔBAD vuông tại B
=>DB\(\perp\)AB tại B
=>DB\(\perp\)AI tại B
Ta có: BI=BA
BA=CD
Do đó: BI=CD
Ta có: BA//CD
I\(\in\)BA
Do đó: BI//CD
Xét tứ giác BICD có
BI//CD
BI=CD
Do đó: BICD là hình bình hành
Hình bình hành BICD có \(\widehat{IBD}=90^0\)
nên BICD là hình chữ nhật
d: Ta có: ABEF là hình thoi
=>EF=AB=AD/2
Xét ΔEAD có
EF là đường trung tuyến
\(EF=\dfrac{AD}{2}\)
Do đó: ΔEAD vuông tại E
=>\(\widehat{AED}=90^0\)
