Cho đường tròn tâm O có đường kính AB bằng 2R (R>0). Gọi C là điểm chính giữa cung AB và M là điểm thuộc cung BC (M khác B và C). Tiếp tuyến tại M của nửa đuognừ tròn tâm O cắt các đường thẳng OC và AB theo thứ tự tại S và K. AM cắt OC tại I.
1. Tính diện tích hình viên phân được giới hạn bởi AC và cung AC (Tính theo R).
2. Chứng minh tứ giác OIMB là tứ giác nội tiếp và SI=SM.
3. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ICM.
4. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Chứng minh BH.AK=BK.AH.
1: C là điểm chính giữa của cung AB
=>CO\(\perp\)AB tại O
=>ΔCOA vuông cân tại O
Diện tích hình quạt AOC là:
\(S_{q\left(AOC\right)}=\Omega\cdot R^2\cdot\dfrac{n}{360}=\Omega\cdot R^2\cdot\dfrac{90}{360}=\Omega\cdot R^2\cdot\dfrac{1}{4}\)
Diện tích tam giác AOC là:
\(S_{AOC}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OC=\dfrac{1}{2}R^2\)
Diện tích hình viên phân được giới hạn bởi AC và cung AC là:
\(\Omega\cdot R^2\cdot\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}R^2=\dfrac{1}{2}R^2\left(\Omega\cdot\dfrac{1}{2}-1\right)\)
2:
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
Xét tứ giác OIMB có \(\widehat{IOB}+\widehat{IMB}=90^0+90^0=180^0\)
nên OIMB là tứ giác nội tiếp
Xét (O) có
\(\widehat{SMA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến MS và dây cung MA
=>\(\widehat{SMA}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{MA}\left(1\right)\)
Ta có: \(\widehat{SIM}=\widehat{AIO}\)(hai góc đối đỉnh)
\(\widehat{AIO}=\widehat{ABM}\left(=90^0-\widehat{IAO}\right)\)
Do đó: \(\widehat{SIM}=\widehat{ABM}\left(2\right)\)
Xét (O) có \(\widehat{ABM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM
Do đó: \(\widehat{ABM}=\dfrac{1}{2}\cdot sđ\stackrel\frown{AM}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{SMI}=\widehat{SIM}\)
=>SI=SM
