Cho điểm A nằm ngoài \(\left(O,R\right)\), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC ( B và C là tiếp điểm ). Gọi H là giao điểm của AO và BC. Kẻ đường kính BD của \(\left(O\right)\), AO song song CD. AD cắt \(\left(O\right)\) tại E. Chứng minh: \(\hat{AHE}=\hat{OHD}\) và \(\cos\frac{\hat{EHD}}{2}=\frac{HE}{HB}\).
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC tại H
Xét (O) có
ΔBED nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBED vuông tại E
=>BE⊥AD tại E
Xét ΔABD vuông tại B có BE là đường cao
nên \(AE\cdot AD=AB^2\) (3)
Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)\)
Từ (3),(4) suy ra \(AE\cdot AD=AH\cdot AO\)
=>\(\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD}\)
Xét ΔAEH và ΔAOD có
\(\frac{AE}{AO}=\frac{AH}{AD}\)
\(\hat{EAH}\) chung
Do đó: ΔAEH~ΔAOD
=>\(\hat{AHE}=\hat{ADO}\)
mà \(\hat{AHE}+\hat{OHE}=180^0\) (hai góc kề bù)
nên \(\hat{OHE}+\hat{ODE}=180^0\)
=>OHED là tứ giác nội tiếp
=>\(\hat{OHD}=\hat{OED}\)
mà \(\hat{OED}=\hat{ODE}\) (ΔOED cân tại O)
và \(\hat{ODE}=\hat{AHE}\)
nên \(\hat{AHE}=\hat{OHD}\)
