Question

Cho đa thức A(x) = \(x^2-2ax+2a^2+b^2-5=0\) có nghiệm. Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức P =(a+1)(b+1)

Answer 1

Đa thức có nghiệm \(\Rightarrow\Delta'=a^2-\left(2a^2+b^2-5\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\le5\)

\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)=ab+a+b+1=\dfrac{\left(a+b\right)^2-\left(a^2+b^2\right)}{2}+a+b+1\)

\(P\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2-5}{2}+a+b+1=\dfrac{1}{2}\left(a+b+1\right)^2-2\ge-2\)

\(P_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=5\\a+b+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(2;-1\right);\left(-1;2\right)\)