Question

Cho phương trình: x²-(2a-1)x-4a-3=0

a)CMR: phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x₁,x₂ không phụ thuộc vào a

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x₁²+x₂²

Answer 1

\(x^2-\left(2a-1\right)x-4a-3=0\)

\(\Delta=\left(2a-1\right)^2+4\left(4a+3\right)\)

\(=4a^2-4a+1+16a+12\)

\(=4a^2+12a+13=\left(2a+3\right)^2+4>0\)

Vì \(\Delta>0\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi a

Vì phương trình có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2a-1\\x_1.x_2=-4a-3\end{matrix}\right.\) ⇒ \(x_1.x_2+2\left(x_1+x_2\right)=-5\)

Ta có:

\(A=x_1^2+x^2_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\)

\(=\left(2a-1\right)^2-2\left(-4a-3\right)\)

\(=4a^2-4a+1+8a+6\)

\(=\left(2a+1\right)^2+6\)

Vì \(\left(2a+1\right)^2\ge0\forall a\)

⇒\(A\ge6\)

Min A=6 <=> \(a=-\dfrac{1}{2}\)