Sửa đề: Chứng minh: \(2\le\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}+ab+bc+ca\le4\)
Đặt \(a+b+c=3u;ab+bc+ca=3v^2\)
\(\Rightarrow3\left(9u^2-6v^2\right)+3v^2=12\Rightarrow9u^2-6v^2+v^2=4\) (1)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=9u^2-6v^2=4-v^2\). Mặt khác từ (1) ta cũng suy ra:
\(\left(3u\right)^2=9u^2=4+5v^2\Rightarrow a+b+c=3u=\sqrt{4+5v^2}\)
Từ giả thiết ta có: \(12=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\ge4\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow3v^2=ab+bc+ca\le3\Rightarrow0\le v\le1\) (vì \(v=\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\ge0\)..)
Vì vậy ta cần chứng minh: \(2\le f\left(v\right)=\frac{4-v^2}{\sqrt{4+5v^2}}+3v^2\le4\) với \(0\le v\le1\)
Dễ thấy hàm số này đồng biến vì vậy f(v) đạt min tại v = 0 tức \(f\left(v\right)_{min}=2\)
Đạt Max tại v = 1 tức \(f\left(v\right)_{max}=4\)
Ta có đpcm.
P/s: Em mới học BĐT nên không chắc đâu, nhất là khúc mà em in đậm ấy.
Quên:
\(f\left(v\right)_{min}=2\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(2;0;0\right)\) và các hoán vị.
\(f\left(v\right)_{max}=4\Leftrightarrow a=b=c=1\)
tại sao \(f\left(v\right)\) đồng biến ? và tại sao \(f\left(v\right)\) đồng biến thì min,max tại v=0,v=1 ? Khi làm cần giải thích rõ hoặc nếu không giải thích được thì chú ko nên ghi vào để người khác hiểu lầm
Thắng Nguyễn OK anh. Em sẽ làm cách khác:
Đặt \(a+b+c=x\). Từ giả thiết ta có: \(5\left(a^2+b^2+c^2\right)+x^2=24\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{24-x^2}{5}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca=12-3\left(a^2+b^2+c^2\right)=12-\frac{3\left(24-x^2\right)}{5}=\frac{3x^2-12}{5}\)
Hiển nhiên \(x\ge0\). Mà ta có:\(\frac{8}{3}x^2=\frac{5}{3}x^2+x^2\le5\left(a^2+b^2+c^2\right)+x^2=24\)
\(\Rightarrow x^2\le9\Rightarrow-3\le x\le3\). Mà \(x\ge0\) nên \(0\le x\le3\)(1)
Ta lại có: \(12=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca=3\left(a+b+c\right)^2-5\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\le3\left(a+b+c\right)^2=3x^2\Rightarrow x\ge2\) (do điều kiện \(x\ge0\)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(2\le x\le3\)
Ta cần chứng minh: \(2\le\frac{24-x^2}{5x}+\frac{3x^2-12}{5}\le4\)
*Chứng minh: \(2\le\frac{24-x^2}{5x}+\frac{3x^2-12}{5}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(3x-4\right)}{5x}\ge0\) (đúng do \(x\ge2\))
*Chứng minh: \(\frac{24-x^2}{5x}+\frac{3x^2-12}{5}\le4\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-3\right)\left[\left(x-2\right)\left(3x+14\right)+20\right]}{5x}\le0\) (đúng do \(x\le3\))
Đẳng thức xảy ra... (như trên)
P/s: Em trình bày hơi lủng cũng ạ!
