Question

cho A=\(\frac{x^2+x+1}{x^2+1}\). Tìm min A, max A

Answer 1

Lời giải:

ĐK: $x\in\mathbb{R}$

$A=\frac{x^2+x+1}{x^2+1}=1+\frac{x}{x^2+1}$

$2A=2+\frac{2x}{x^2+1}=1+\frac{(x+1)^2}{x^2+1}$

Vì $(x+1)^2\geq 0; x^2+1>0$ với mọi $x$ nên $\frac{(x+1)^2}{x^2+1}\geq 0$

$\Rightarrow 2A\geq 1$

$\Rightarrow A\geq \frac{1}{2}$. Vậy $A_{\min}=\frac{1}{2}$ khi $x=-1$

Mặt khác:

$2A=2+\frac{2x}{x^2+1}=3-(1-\frac{2x}{x^2+1})=3-\frac{(x-1)^2}{x^2+1}$

Lập luận tương tự ở trên ta cũng có $\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\geq 0$

$\Rightarrow 2A\leq 3\Rightarrow A\leq \frac{3}{2}$

Vậy $A_{\max}=\frac{3}{2}$ khi $x=1$