Ta có: \(3a^2+2ab+3b^2=m\left(a+b\right)^2+n\left(a-b\right)^2\)
\(=\left(m+n\right)a^2+2\left(m-n\right)ab+\left(m+n\right)b^2\)
Đồng nhất hệ số ta được \(\hept{\begin{cases}m+n=3\\m-n=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}}\)
Do đó \(3a^2+2ab+3b^2=2\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge2\left(a+b\right)^2\)
Tương tự với mấy cái BĐT còn lại thay vào ta được:
\(P\ge2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\ge2\sqrt{2}\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}=6\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1.
P/s: Em không chắc đâu ạ!
Ta có: P=∑\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}\)=∑\(\sqrt{\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)^2}\ge\)
∑\(\sqrt{2}\left(a+b\right)\ge\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=6\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khii
a=b=c=1
Chúc học tốt!!!!!!!!!!!!!!!
Ta có \(\sqrt{3a^2+2bc+3c^2}=\sqrt{\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{2\left(a+b\right)^2}=\left(a+b\right)\sqrt{2}\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}\ge\left(b+c\right)\sqrt{2}\\\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\ge\left(c+a\right)\sqrt{2}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có
\(a+b+c=\left(a+1\right)+\left(b+1\right)+\left(c+1\right)-3\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}+2\sqrt{c}-3=2\cdot3-3=3\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}a=b;b=c;c=a\\\sqrt{a}=1;\sqrt{b}=1;\sqrt{c}=1\\\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)
