KHÔNG MẤT TÍNH TÔNG QUÁT, ĐẶT \(a< _=b< _=c\)
TA CÓ:
\(a^2+b^2+c^2+abc=0\)
=> \(a^2+b^2+c^2=-abc\)
DO \(a< _=b< _=c\)
=> \(a^2+b^2+c^2=-abc>_=a^2+a^2+a^2=3a^2\)
=> \(-bc>_=3a\)
XÉT HAI TRƯỜNG HỢP:
TH1: a khác 0
=> \(\frac{-bc}{a}>_=3\)
TA CÓ \(a^2+b^2+c^2=-abc\)
\(a^2+b^2+c^2>0\left(a#0\right)\)
=> - abc > 0
=> Hoặc a âm , b và c lớn hơn 0 , hoặc a , b , c âm
=> \(\frac{-bc}{a}< 0\)
MÀ \(\frac{-bc}{a}>_=3\)
=> LOẠI
TH2: a = 0
=> thỏa mãn
=> \(b^2+c^2+bc=0\)
=> \(b^2+c^2+\left(b+c\right)^2=0\)
=> b = c = 0
VẬY a = b = c = 0
Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a\ge b\ge c\ge-2\)
Ta có:
\(-abc=a^2+b^2+c^2\ge0\)
\(\Rightarrow\)Trong 3 số thì cả 3 số không dương hoặc c không dương, a,b không âm.
\(\Rightarrow ab\ge0\)
Ta lại có:
\(a^2+b^2+c^2+abc\ge2ab+c^2+abc\)
\(=c^2+ab\left(2+c\right)\ge0\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=0\)
