Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ca\right)+c\left(c^2+8ab\right)\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)^3\ge a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ca\right)+c\left(c^2+8ab\right)\Leftrightarrow3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge24abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\). Đây là một bđt rất quen thuộc
Không Holder thì Svacxo nha :v
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ab}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}}\)
Ta có sẽ đi chứng minh :
\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}\le\left(a+b+c\right)^2\)
Thật vậy theo Bunhiacopxki có :
\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}=\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^3+8abc}\)
\(\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)}\)
Ta lại đi chứng minh :
\(a^3+b^3+c^3+24abc\le\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow24abc\le3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) ( Đây là BĐT đúng )
Do đó nhân vào ta có đpcm.
Đặt \(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}=x;\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ac}}=y;\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}=z\)
Nếu 1 trong 3 số \(x,y,z>1\) thì hiển nhiên bất đẳng thức đúng
Xét \(x,y,z\in\left(0,1\right)\)
\(x^2=\dfrac{a^2}{a^2+8bc}\rightarrow\dfrac{1}{x^2}-1=\dfrac{a^2+8bc}{a^2}-1=\dfrac{8bc}{a^2}\)
\(\rightarrow\dfrac{1-x^2}{x^2}=\dfrac{8bc}{a^2}\) . Tương tự
\(\rightarrow\dfrac{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)}{x^2y^2z^2}=\dfrac{512a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=512\)
\(\rightarrow\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)=512x^2y^2z^2\left(1\right)\)
Phản chứng . Giả sử \(x+y+z< 1\)
\(\rightarrow\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)>\left[\left(x+y+z\right)^2-x^2\right].\left[\left(x+y+z\right)^2-y^2\right].\left[\left(x+y+z\right)^2-z^2\right]=\left(x+x+y+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y+y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y+z+z\right)\left(x+y\right)\ge4\sqrt[4]{x^2yz}.2\sqrt{yz}.4\sqrt[4]{xy^2z}.2\sqrt{xz}.4\sqrt[4]{xy^2z}.2\sqrt{xy}=512x^2y^2z^2\)
\(\)Trái với (1)
Do đó điều giả sử là sai
\(\rightarrow x+y+z\ge1\left(đ\cdot p\cdot c\cdot m\right)\)
