Question

cho a,b,c>0 ; abc=2.CMR

\(a^3+b^3+c^3\ge a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\)

Answer 1

Do vai trò của 3 biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)

\(\Rightarrow\) Theo BĐT Chebyshev:

\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\) (1)

Bunhiacopxki:

\(\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\le2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\le6\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge6\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge6\)

Hiển nhiên đúng do: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc=6\)