Bài này em cần hay đăng lên cho các bạn thử sức nhỉ?
đặt \(\dfrac{1}{a^2}=x^2;\dfrac{1}{b^2}=y^2;\dfrac{1}{c^2}=z^2\)
ta được \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\)
ta có\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}< =>abc\le1< =>xyz\ge1\)
=> \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz< =>x^2+y^2+z^2+x^2+y^2+z^2\ge x^2+y^2+z^2+3xyz\ge2xy+2yz+2xz\)
Áp dụng nguyên lý dirichle cho 3 số (x-1) (y-1) và (z-1) luôn tồn tại 2 số cùng dấu
ko lm mất đi tính tổng quát giả sử x-1 và y-1 cùng dấu
=> \(2z\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0< =>2xyz+2z\ge2zy+2xz\)
<=>\(x^2+y^2+z^2+3xyz\ge2xyz+2z+2xy< =>\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\left(Đ\right)\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=1
