Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
đấng ys

cho a,b,c>0 va abc=1 :  chung minh: \(A=\dfrac{a^5}{b^2\left(c+3\right)}+\dfrac{b^5}{c^2\left(a+3\right)}+\dfrac{c^5}{a^2\left(b+3\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)

Akai Haruma
18 tháng 9 2021 lúc 18:53

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a^5}{b^2(c+3)}+\frac{b(c+3)}{16}+\frac{ab}{4}\geq \frac{3}{4}a^2\)

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:

\(A+\frac{5}{16}ab+\frac{3(a+b+c)}{16}\geq \frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)\)

Mà theo BĐT AM-GM dễ thấy \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\Rightarrow A\geq \frac{7}{16}(a^2+b^2+c^2)-\frac{3}{16}(a+b+c)\)

Áp dụng BĐT AM-GM tiếp:

$a^2+1\geq 2a; b^2+1\geq 2b; c^2+1\geq 2c$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)\geq a+b+c+3\sqrt[3]{abc}=a+b+c+3$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq a+b+c\Rightarrow A\geq \frac{1}{4}(a+b+c)\geq \frac{1}{4}\sqrt[3]{abc}=\frac{3}{4}$
Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Akai Haruma
18 tháng 9 2021 lúc 18:54

Mình vừa sửa lỗi công thức, bạn load lại để xem nhé.

Akai Haruma
18 tháng 9 2021 lúc 18:59

Cách 2:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(A=\sum \frac{a^6}{ab^2(c+3)}=\sum \frac{a^6}{b+3ab^2}\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a+b+c+3(ab^2+bc^2+ca^2)}\)$(1)$

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^3+1+1\geq 3a; b^3+1+1\geq 3b; c^3+1+1\geq 3c$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\geq 3(a+b+c)=a+b+c+2(a+b+c)$

$\geq a+b+c+6\sqrt[3]{abc}=a+b+c+6$ (theo BĐT AM-GM)

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a+b+c(2)$

Tiếp tục AM-GM:

$a^3+b^3+b^3\geq 3ab^2; b^3+c^3+c^3\geq 3bc^2; a^3+a^3+c^3\geq 3ca^2$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq ab^2+bc^2+ca^2(3)$

Từ $(1); (2); (3)\Rightarrow A\geq \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{4(a^3+b^3+c^3)}=\frac{a^3+b^3+c^3}{4}\geq \frac{3abc}{4}=\frac{3}{4}$

Ta có đpcm.


Các câu hỏi tương tự
đấng ys
Xem chi tiết
Quốc Thái
Xem chi tiết
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Đỗ Thị Minh Ngọc
Xem chi tiết
missing you =
Xem chi tiết
Hi Mn
Xem chi tiết
Hi Mn
Xem chi tiết
Lê Song Phương
Xem chi tiết