a) Áp dụng Cauchy Schwars ta có:
\(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{c+1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
b) \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{6}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
c) \(P=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2.3}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=1
a) ÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ TA ĐƯỢC:
=> \(M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{3^2}{3+3}=\frac{3}{2}\)
DẤU "=" XẢY RA <=> \(a=b=c\) . MÀ: \(a+b+c=3\Rightarrow a=b=c=1\)
b) ÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ TA ĐƯỢC:
=> \(N\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{36}{3+3}=\frac{36}{6}=6\)
DẤU "=" XẢY RA <=> \(a=b=c\) . MÀ: \(a+b+c=3\Rightarrow a=b=c=1\)
c) ÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ TA ĐƯỢC:
=> \(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+b+c+c+a}\)
=> \(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
DẤU "=" XẢY RA <=> \(a=b=c\) . MÀ: \(a+b+c=3\Rightarrow a=b=c=1\)
d) ÁP DỤNG BĐT BUNHA TA ĐƯỢC:
=> \(Q\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}+a^2+b^2+c^2+2020\)
LẠI ÁP DỤNG BĐT BUNHA TA ĐƯỢC:
=> \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
=> \(Q\ge\frac{3^2}{3}+3+2020=3+3+2020=2026\)
DẤU "=" XẢY RA <=> \(a=b=c\) . MÀ: \(a+b+c=3\Rightarrow a=b=c=1\)
bạn đang học chuyên đề về Svacxo à
a, \(M=\frac{a^2}{a+1}+\frac{b^2}{b+1}+\frac{c^2}{b+1}\)
Theo Svacxo ta có :
\(M\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+1+b+1+c+1}=\frac{3^2}{3+3}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
b, \(N=\frac{1}{a}+\frac{4}{b+1}+\frac{9}{c+2}\)
Theo Svacxo ta có :
\(N\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c+3}=\frac{6^2}{6}=6\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
c, \(P=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)
Theo Svacxo ta có :
\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
d, \(Q=a^2+b^2+c^2+a^4+b^4+c^4+2020\)
Theo Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{3}+2020\)
\(=\frac{9}{3}+\frac{9}{3}+2020=2020+6=2026\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)d) \(Q=a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2+2020\)
\(Q=\frac{\left(a^2\right)^2}{1}+\frac{\left(b^2\right)^2}{1}+\frac{\left(c^2\right)^2}{1}+a^2+b^2+c^2+2020\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}+a^2+b^2+c^2+2020\)
\(\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+2020\)
\(=\frac{\left[\frac{9}{3}\right]^2}{3}+\frac{9}{3}+2020\)
\(=2026\)
"=" xảy ra khi a=b=c=1
