Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tư Linh

Cho a,b,c dương thỏa mãn \(a+b+c=3\)

Chứng minh \(\dfrac{a^3}{a^2+3ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+3bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+3ac+a^2}\ge\dfrac{3}{5}\)

Giúp mình với, cảm ơn mọi người nhé

Trần Tuấn Hoàng
14 tháng 6 2022 lúc 11:52

\(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{a^3}{a^2+3ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+3bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+3ca+a^2}\)

Áp dụng BĐT Caushy ta có:

\(A\ge\dfrac{a^3}{a^2+3.\dfrac{a^2+b^2}{2}+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+3.\dfrac{b^2+c^2}{2}+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+3.\dfrac{c^2+a^2}{2}+a^2}\)

\(=\dfrac{a^3}{\dfrac{5}{2}\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{b^3}{\dfrac{5}{2}\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{c^3}{\dfrac{5}{2}\left(c^2+a^2\right)}\)

\(=\dfrac{2}{5}\left(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\right)\) (1)

Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2ab}=a-\dfrac{b}{2}\)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\dfrac{c}{2};\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\dfrac{a}{2}\)

Cộng vế theo vế của các BĐT trên ta có:

\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra:

\(A\ge\dfrac{2}{5}.\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{5}\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)


Các câu hỏi tương tự
Tư Linh
Xem chi tiết
MyNameNhii
Xem chi tiết
Hồ Lê Thiên Đức
Xem chi tiết
Dr.STONE
Xem chi tiết
tnt
Xem chi tiết
Đặng Anh Tuấn
Xem chi tiết
tnt
Xem chi tiết
Vô danh
Xem chi tiết
38. Như Ý
Xem chi tiết
09.Phạm Trần Duân
Xem chi tiết