Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{(\frac{3}{2})^2}{3}=\frac{3}{4}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$.
Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn \(abc\)=1. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}\)+\(\dfrac{1}{b^3\left(a+c\right)}\)+\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)≥\(\dfrac{3}{2}\)
B1: Cho \(0\le a,b,c\le2\) thỏa mãn \(a+b+c=3\). CMR: \(a^2+b^2+c^2\le5\)
B2: Cho \(a,b\ge0\) thỏa mãn \(a^2+b^2=a+b\). TÌm GTLN \(S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}\)
B3: CMR: \(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\forall x\ne y,xy\ne0\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn
\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2011}\)
CMR:\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}\)
Cho 3 số a, b, c thỏa a + b + c = \(\dfrac{3}{2}\)
Chứng minh:
\(a^2 + b^2 + c^2 ≥ \dfrac{3}{4}\)
Với a, b, c là những số thực dương thỏa mãn \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)\(\left(c+a\right)\)=1
Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{b\left(b+2c\right)^2}\)+\(\dfrac{b}{c\left(c+2a\right)^2}\)+\(\dfrac{c}{a\left(a+2b\right)^2}\)≥\(\dfrac{4}{3}\)
a) Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x2+y2+z2=3, tìm giá trị nhỏ nhất của F=\(\dfrac{x^2+1}{z+2}\)+\(\dfrac{y^2+1}{x+2}\)+\(\dfrac{z^2+1}{y+2}\)
b) Với a,b,c > 0 thỏa mãn ab+bc+ca=3, chứng minh rằng
\(\sqrt{\dfrac{a}{a+3}}\) +\(\sqrt{\dfrac{b}{b+3}}\)+\(\sqrt{\dfrac{c}{c+3}}\)\(\le\)\(\dfrac{3}{2}\)
cho a,b,c > 0 thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng \(\sum\)\(\dfrac{a}{a^2+b+c}\) ≤ 1
Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=1. Chứng minh ab+bc+ca ≤ \(\dfrac{3}{4}\)
Chứng minh bằng cách lớp 8 giúp mình ạ 🙏 🙏 🙏
Cho a,b,c là các số hữu ti khác 0 thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\) là bình phương của một số hữu tỉ
