Bài này sai rồi nha bn!!
Áp dụng bdt Bunhiacopski
\(\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}<=\sqrt{3*(12-(a^2+b^2+c^2))} a^2+b^2+c^2>=(a+b+c)^2/3 = 1/3 <\sqrt{35} \)
Vậy là phải bé hơn hoặc bằng căn 35 mới đúng đề!
Bạn viết đề ngược dấu rồi, phải là ≥3√3
Đề sai rồi bạn ạ, áp dụng BĐT Bunhiacopski là thấy ngay
hình như đề hơi sai sai ,mình đọc ko hiểu gì cả .
Sửa lại đề: "a+b+c=3 ... "
Đặt: \(M=\sqrt{4-a^2}+\sqrt{4-b^2}+\sqrt{4-c^2}\)
\(M=\sqrt{\left(2-a\right)\left(2+a\right)}+\sqrt{\left(2-b\right)\left(2+b\right)}+\sqrt{\left(2-c\right)\left(2+c\right)}\)
\(\sqrt{3}.M=\sqrt{3\left(2-a\right)\left(2+a\right)}+\sqrt{3\left(2-b\right)\left(2+b\right)}+\sqrt{3\left(2-c\right)\left(2+c\right)}\)
\(\sqrt{3}.M=\sqrt{\left(6-3a\right)\left(2+a\right)}+\sqrt{\left(6-3b\right)\left(2+b\right)}+\sqrt{\left(6-3c\right)\left(2+c\right)}\)
Ta thấy: \(a;b;c\in\left[-2;2\right]\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\le2\\a\ge-2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6-3a\ge0\\2+a\ge0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm: 6-3a và 2+a thì có:
\(\left(6-3a\right)\left(2+a\right)\le\frac{\left(6-3a+2+a\right)^2}{4}\Leftrightarrow\sqrt{\left(6-3a\right)\left(2+a\right)}\le\frac{8-2a}{2}=4-a\)
Tương tự: \(\sqrt{\left(6-3b\right)\left(2+b\right)}\le4-b;\) \(\sqrt{\left(6-3c\right)\left(2+c\right)}\le4-c\)
Cộng 3 BĐT trên theo vế, suy ra:
\(\sqrt{\left(6-3a\right)\left(2+a\right)}+\sqrt{\left(6-3b\right)\left(2+b\right)}+\sqrt{\left(6-3c\right)\left(2+c\right)}\le12-\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}.M\le9\Leftrightarrow M\le\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)(đpcm).
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1.
