Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\Rightarrow abc=1\left(TMGT\right)\)
Ta có:
\(\frac{1}{a+2}=\frac{1}{\frac{x}{y}+2}=\frac{1}{\frac{x+2y}{y}}=\frac{y}{x+2y}=\frac{y^2}{xy+2y^2}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b+2}=\frac{z^2}{yz+z^2};\frac{1}{c+2}=\frac{x^2}{zx+x^2}\)
Ta có:
\(\frac{x^2}{xz+2x^2}+\frac{y^2}{xy+2y^2}+\frac{z^2}{yz+2z^2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+xy+yz+zx}\)
Mặt khác \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+xy+yz+zx\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
Rồi OK.Đến đây tịt r:( GOD nào vào thông não hộ ạ:(
Sửa đề thành \(\le1\).Bài này cứ quy đồng full nha! Em có làm ở đây r: Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp 0 - Học toán với OnlineMath
Còn một kiểu trâu bò đó là:
Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{x^2}{yz};\frac{y^2}{zx};\frac{z^2}{xy}\right)\). BĐT quy về:
\(\Sigma_{cyc}\frac{2yz}{x^2+2yz}\le2\Leftrightarrow3-\left(\Sigma_{cyc}\frac{x^2}{x^2+2yz}\right)\le2\)
Ta có: \(VT\le3-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)}=3-1=2\)(Q.E.D)
ĐẲng thức xảy ra khi ...
Is that true?
