Từ \(a+b+c=3\) ta có:
Đặt \(\hept{\begin{cases}a=1+m\\b=1+n\\c=1-m+n\end{cases}\left(-1< m+n< 1\right)}\)
\(\rightarrow4\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)=\)
\(=4\left[\left(1+m\right)^2+\left(1+n^2\right)+\left(1-m-n\right)^2\right]-\left[\left(1+m\right)^3+\left(1+n\right)^3+\left(1-m-n\right)^3\right]\)
\(=4\left(1+2m+m^2+1+2n+n^2+1+m^2+n^2-2m-2n+2mn\right)\)
\(-\left(6m^2+6n^2+6mn-3m^2n-3mn^2+3\right)\)
\(=4\left(2m^2+2n^2+3+2mn\right)-6m^2-6n^2+3m^2n+3mn^2-3\)
\(=2m^2+2n^2+2mn+3m^2n+3mn^2+9\)
\(=\left(m+n\right)^3+\left(m+n\right)^2=\left(m+n\right)^2\left(m+n+1\right)+9\ge9\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=n=0\) hay \(a=b=c=1\).
Ta có a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca).
Rút a3 + b3 + c3 ra rồi thế vào VT bđt ta được
VT = 9 + ab + bc + ca - 3abc
Mặt khác ab + bc + ca >= 3 căn 3 của a2b2c2 >= 3abc (vì abc <=1).
Do đó VT >=9. Đpcm.
