\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=a\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)+b\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(=\dfrac{a}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{b}=1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
\(=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\)
Vì a,b là các số dương \(\Rightarrow\dfrac{a}{b}>0,\dfrac{b}{a}>0\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{b}{a}\) có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2\sqrt{1}=2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2\ge2+2=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}\Leftrightarrow a=b\)
Vậy \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\Leftrightarrow a=b\)
Cách khác:
\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b\right)^2}{ab}\ge4\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)
Bất đẳng thức cuối đúng do a,b>0. Vậy ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi a=b>0.
