Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Minh Anh

Cho a, b là các số dương thỏa mãn a + b = 3. CMR

\(\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{a}\right)^2\ge\dfrac{169}{18}\)

Dark_Hole
15 tháng 3 2022 lúc 13:40

:v

Nguyễn Việt Lâm
15 tháng 3 2022 lúc 13:45

Với mọi x;y dương, ta có:

\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

Đồng thời \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

Áp dụng: đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P, ta có:

\(P=\left(a+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{a}\right)^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{1}{b}+b+\dfrac{1}{a}\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\)

\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+\dfrac{4}{a+b}\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(3+\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{169}{18}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{3}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
chuche
Xem chi tiết
Hồ Lê Thiên Đức
Xem chi tiết
Lizy
Xem chi tiết
Lil Shroud
Xem chi tiết
Xem chi tiết
dinh huong
Xem chi tiết
Minz Ank
Xem chi tiết
Anime
Xem chi tiết
Hoàng Anh Thắng
Xem chi tiết