Question

a,b,c là 3 số dương thỏa mãn a+b+c=3. Chứng tỏ \(\dfrac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b^3}{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}+\dfrac{c^3}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}>=\dfrac{3}{4}\)

Answer 1

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3}{4}a$

$\frac{b^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\geq \frac{3}{4}b$

$\frac{c^3}{(c+a)(c+b)}+\frac{c+a}{8}+\frac{c+b}{8}\geq \frac{3}{4}c$

Cộng 3 BĐT trên và thu gọn:

$\Rightarrow \frac{a^3}{(a+b)(a+c)}+\frac{b^3}{(b+a)(b+c)}+\frac{c^3}{(c+a)(c+b)}\geq \frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}$

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$