Ta có \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
=> \(\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
=> a2 + b2 \(\ge\)2ab
=> a2 + b2 - 2ab\(\ge\)0
=> (a - b)2 \(\ge\)0 (đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> a - b = 0 => a = b
=> Bất đẳng thức được chứng minh
P = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
=> \(\left(a+b+c\right).P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
=> \(3P=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
=> \(3P=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\ge3+2+2+2=9\left(cmt\right)\)
=> P \(\ge3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c
mà a + b + c = 3
=> a = b = c = 1
Vậy Min P = 3 <=> a = b= c = 1
cách khác nhé
b, Áp dụng BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức ta có :
\(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu ''='' xảy ra khi : \(a=b=c=1\)
Vậy GTNN P là 3 khi a = b = c = 1
