Question

Cho a, b, c>0. CMR: \(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)

Answer 1

Ta có:

\(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)=\left(ab-1\right)^2+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\frac{3}{2}\left(a+b\right)^2+3\)\(\ge\frac{3}{2}\left[\left(a+b\right)^2+2\right]\)

Suy ra \(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge\frac{3}{2}\left[\left(a+b\right)^2+2\right]\left(c^2+2\right)\)

\(\ge\frac{3}{2}\left(a\sqrt{2}+b\sqrt{2}+c\sqrt{2}\right)^2\) (BĐT Cauchy-Schwarz)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)

Dấu "=" khi a=b=c=1