Question

Cho a, b: ab\(\ge\)1. Chứng minh:

\(\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}\ge\dfrac{2}{1+ab}\)

Answer 1

Lời giải:
BĐT \(\Leftrightarrow \frac{a^2+b^2+2}{(a^2+1)(b^2+1)}\geq \frac{2}{ab+1}\)

$\Leftrightarrow (a^2+b^2+2)(ab+1)\geq 2(a^2b^2+a^2+b^2+1)$

$\Leftrightarrow a^3b+a^2+ab^3+b^2+2ab+2\geq 2a^2b^2+2a^2+2b^2+2$

$\Leftrightarrow a^3b+ab^3+2ab\geq 2a^2b^2+a^2+b^2$

$\Leftrightarrow ab(a^2+b^2-2ab)-(a^2+b^2-2ab)\geq 0$

$\Leftrightarrow ab(a-b)^2-(a-b)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^2(ab-1)\geq 0$

Điều này luôn đúng với mọi $ab\geq 1$ 

Do đó ta có đpcm 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b$ hoặc $ab=1$