Câu 17. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, AC = 12cm, đường cao AH. Vẽ
HI vuông góc với AB tại I, HK vuông góc với AC tại K.
a) Tính BC.
b) Chứng minh rằng: AB = BH.BC.
c) Cho M là trung điểm của BC ; D là giao điểm của AM và IK. Chứng minh tam giác AIK
đồng dạng tam giác ACB và AM vuông góc với IK.
a: ΔABC vuông tại A
=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)
=>\(BC=\sqrt{5^2+12^2}=13\left(cm\right)\)
b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có
\(\widehat{HBA}\) chung
Do đó: ΔHBA~ΔABC
=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\)
=>\(BH\cdot BC=BA^2\)
c: Xét ΔAIH vuông tại I và ΔAHB vuông tại H có
\(\widehat{IAH}\) chung
Do đó: ΔAIH~ΔAHB
=>\(\dfrac{AI}{AH}=\dfrac{AH}{AB}\)
=>\(AI\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔAKH vuông tại K và ΔAHC vuông tại H có
\(\widehat{KAH}\) chung
Do đó: ΔAKH~ΔAHC
=>\(\dfrac{AK}{AH}=\dfrac{AH}{AC}\)
=>\(AK\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(AI\cdot AB=AK\cdot AC\)
=>\(\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\)
Xét ΔAIK vuông tại A và ΔACB vuông tại A có
\(\dfrac{AI}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\)
Do đó: ΔAIK~ΔACB
=>\(\widehat{AKI}=\widehat{ABC}\)
ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến
nên MA=MC
=>ΔAMC cân tại M
=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)
\(\widehat{MAC}+\widehat{AKI}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^0\)
=>AM\(\perp\)IK
