a: ΔABC vuông tại A=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)=>\(BC^2=12^2+16^2=400=20^2\)=>BC=20(cm)Xét ΔBAC có BD là phân giácnên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)=>\(\dfrac{AD}{12}=\dfrac{CD}{20}\)=>\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}\)mà AD+CD=AC=16cmnên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{AD+CD}{3+5}=\dfrac{16}{8}=2\)=>\(AD=2\cdot3=6\left(cm\right);CD=2\cdot5=10\left(cm\right)\)b: Xét ΔBHI vuông tại H và ΔBAD vuông tại A có\(\widehat{HBI}=\widehat{ABD}\)(BD là phân giác của góc ABC)Do đó; ΔBHI~ΔBAD=>\(\widehat{BIH}=\widehat{BDA}\)mà \(\widehat{BIH}=\widehat{AID}\)(hai góc đối đỉnh)nên \(\widehat{AID}=\widehat{ADI}\)=>ΔADI cân tại A=>AD=AIc: Xét ΔABC có BD là phân giác trong tại Bvà BK\(\perp\)BD tại Bnên BK là phân giác góc ngoài tại BXét ΔBAC có BK là phân giác góc ngoài tại Bnên \(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{BA}{BC}\)mà \(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{DA}{DC}\)nên \(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{DA}{DC}\)=>\(KA\cdot DC=DA\cdot KC\)Câu trả lời: a: ΔABC vuông tại A=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)=>\(BC^2=12^2+16^2=400=20^2\)=>BC=20(cm)Xét ΔBAC có BD là phân giácnên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\)=>\(\dfrac{AD}{12}=\dfrac{CD}{20}\)=>\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}\)mà AD+CD=AC=16cmnên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:\(\dfrac{AD}{3}=\dfrac{CD}{5}=\dfrac{AD+CD}{3+5}=\dfrac{16}{8}=2\)=>\(AD=2\cdot3=6\left(cm\right);CD=2\cdot5=10\left(cm\right)\)b: Xét ΔBHI vuông tại H và ΔBAD vuông tại A có\(\widehat{HBI}=\widehat{ABD}\)(BD là phân giác của góc ABC)Do đó; ΔBHI~ΔBAD=>\(\widehat{BIH}=\widehat{BDA}\)mà \(\widehat{BIH}=\widehat{AID}\)(hai góc đối đỉnh)nên \(\widehat{AID}=\widehat{ADI}\)=>ΔADI cân tại A=>AD=AIc: Xét ΔABC có BD là phân giác trong tại Bvà BK\(\perp\)BD tại Bnên BK là phân giác góc ngoài tại BXét ΔBAC có BK là phân giác góc ngoài tại Bnên \(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{BA}{BC}\)mà \(\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{DA}{DC}\)nên \(\dfrac{KA}{KC}=\dfrac{DA}{DC}\)=>\(KA\cdot DC=DA\cdot KC\)