Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Toàn Nguyễn

Bài 4: Cho \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c\ge0\\a+b+c=3\end{matrix}\right.\)  . Tìm GTLN của biểu thức   4ab+8bc+6ca

Lê Thị Thục Hiền
10 tháng 6 2021 lúc 16:05

\(A=4ab+8bc+6ca=a\left(b+c\right)+3b\left(a+c\right)+5c\left(a+b\right)\)

\(=a\left(3-a\right)+3b\left(3-b\right)+5c\left(3-c\right)\)

\(=\dfrac{81}{4}-\left[\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2+3\left(b-\dfrac{3}{2}\right)^2+5\left(c-\dfrac{3}{2}\right)^2\right]\)

Đặt \(x=\left|a-\dfrac{3}{2}\right|;y=\left|b-\dfrac{3}{2}\right|;z=\left|c-\dfrac{3}{2}\right|\)

\(\Rightarrow x+y+z\ge\left|a+b+c-\dfrac{9}{2}\right|=\dfrac{3}{2}\)

Khi đó \(A=\dfrac{81}{4}-\left(x^2+3y^2+5z^2\right)\) 

Áp dụng bđt bunhiacopxki: \(\left(x^2+3y^2+5z^2\right)\left(\dfrac{45^2}{46^2}+\dfrac{3.15^2}{46^2}+\dfrac{5.9^2}{46^2}\right)\ge\left(\dfrac{45}{46}x+\dfrac{45}{46}y+\dfrac{45}{46}z\right)^2\ge\left(\dfrac{135}{92}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+3y^2+5z^2\ge\dfrac{135}{92}\)

\(\Rightarrow A\le\dfrac{81}{4}-\dfrac{135}{92}=\dfrac{432}{23}\)

Dấu = xảy ra\(\Leftrightarrow x=3y=5z\) và \(x+y+z=\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{45}{46}\\y=\dfrac{15}{46}\\z=\dfrac{9}{46}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{12}{23}\\b=\dfrac{27}{23}\\c=\dfrac{30}{23}\end{matrix}\right.\)

Vậy...


Các câu hỏi tương tự
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Quân
Xem chi tiết
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Linh Nguyen
Xem chi tiết
Minh Hiếu
Xem chi tiết
Tô Mì
Xem chi tiết
Trương Tấn Sang
Xem chi tiết
Đào Thu Hiền
Xem chi tiết
Minh Hiếu
Xem chi tiết