Question

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ oxy, cho tứ giác ABCD biết A(0;-2), B(1;5),C(-1;5). tính góc của hai vectơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\)

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ M đến điểm N(-1;4) bằng \(2\sqrt{5}\)

Bài 3: Cho 4 điểm A(-1;0), B(0;3), C(3;2), D(5;-2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang vuông. Tính diện tích tứ giác này.

Bài 4: cho tam giác ABC có A(5;3), B(2;-1), C(-1;5)

a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC

b) Tính toạn độ chân đường cao vẽ từ A

c) Tính diện tích tam giác ABC

Answer 1

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(1;7\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(-1;7\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1.\left(-1\right)+7.7=48\\AB=\sqrt{1^2+7^2}=2\sqrt{5}\\AC=\sqrt{\left(-1\right)^2+7^2}=2\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{AB.AC}=\frac{48}{\left(2\sqrt{5}\right)^2}\Rightarrow\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\approx16^015'\)

2.

Gọi \(M\left(m;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{NM}=\left(m+1;-4\right)\)

\(\Rightarrow MN=\sqrt{\left(m+1\right)^2+\left(-4\right)^2}=2\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=34\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1+\sqrt{34}\\m=-1-\sqrt[]{34}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(-1-\sqrt{34};0\right)\\M\left(-1+\sqrt{34};0\right)\end{matrix}\right.\)

Answer 2

3.

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{BC}=\left(3;-1\right)\\\overrightarrow{AD}=\left(6;-2\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(1;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AD}=-2\overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}=3.1+\left(-1\right).3=0\\\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB}=6.1+-2.3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AD//BC\\AB\perp BC\\AB\perp AD\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow ABCD\) là hình thang vuông với AD và BC là 2 đáy

\(\left\{{}\begin{matrix}BC=\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}=\sqrt{10}\\AD=\sqrt{6^2+\left(-2\right)^2}=2\sqrt{10}\\AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB.\left(BC+AD\right)=15\)

Answer 3

4.

\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-3;-4\right)\\\overrightarrow{AC}=\left(-6;2\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-3;6\right)\end{matrix}\right.\)

Gọi \(H\left(x;y\right)\) là trực tâm tam giác \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}=\left(x-5;y-3\right)\\\overrightarrow{BH}=\left(x-2;y+1\right)\end{matrix}\right.\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}AH\perp BC\\BH\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3\left(x-5\right)+5\left(y-3\right)=0\\-6\left(x-2\right)+2\left(y+1\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{35}{12}\\y=\frac{7}{4}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow H\left(\frac{35}{12};\frac{7}{4}\right)\)

Answer 4

4b.

Gọi \(K\left(x;y\right)\) là chân đường cao hạ từ A xuống BC

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}=\left(x-5;y-3\right)\\\overrightarrow{BK}=\left(x-2;y+1\right)\end{matrix}\right.\)

Mà \(AK\perp BC\) đồng thời \(K\in BC\) nên ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}-3\left(x-5\right)+6\left(y-3\right)=0\\\frac{x-2}{-3}=\frac{y+1}{6}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow K\left(1;1\right)\)

c. Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AK}=\left(-4;-2\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-3;6\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AK=2\sqrt{5}\\BC=3\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AK.BC=15\)