Question

△ABC vuông tại A, AH là đường cao, D và E làn lượt là hình chiếu của H trên AB,AC. Đường thẳng A ⊥ DE cắt BC tại I. Gọi S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh 2S=AH4/(HE.HD) và I là trung điểm BC

Answer 1

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

=>ADHE là hình chữ nhật

=>HD=AE và HE=AD

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AH^2\)

=>\(AD=\dfrac{AH^2}{AB}\)

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AH^2\)

=>\(AE=\dfrac{AH^2}{AC}\)

AI vuông góc ED

=>\(\widehat{AED}+\widehat{IAC}=90^0\)

=>\(\widehat{IAC}+\widehat{AHD}=90^0\)

=>\(\widehat{IAC}+\widehat{B}=90^0\)

mà \(\widehat{ICA}+\widehat{B}=90^0\)

nên \(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}\)

=>IA=IC

\(\widehat{IAC}=\widehat{ICA}\)

\(\widehat{IAC}+\widehat{IAB}=90^0\)

\(\widehat{ICA}+\widehat{IBA}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{IAB}=\widehat{IBA}\)

=>IA=IB

mà IA=IC

nên IB=IC

=>I là trung điểm của BC

\(2S=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=AB\cdot AC\)

\(\dfrac{AH^4}{HE\cdot HD}=\dfrac{AH^4}{AE\cdot AD}\)

\(=\dfrac{AH^4}{\dfrac{AH^2}{AB}\cdot\dfrac{AH^2}{AC}}=AB\cdot AC\)

Do đó: \(2\cdot S=\dfrac{AH^4}{HE\cdot HD}\)