Question

a) Cho A = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3²⁰¹⁶ . Tìm số dư khi chia A cho 65 .

Giúp em với ạ 

Answer 1

Lời giải:
$A=1+(3+3^2+3^3)+(3^4+3^5+3^6)+....+(3^{2014}+3^{2015}+3^{2016})$

$=1+3(1+3+3^2)+3^4(1+3+3^2)+...+3^{2014}(1+3+3^2)$
$=1+3.13+3^4.13+....+3^{2014}.13$

$=1+13(3+3^4+...+3^{2014})$ 

$\Rightarrow A-1\vdots 13(1)$

Mặt khác:
$A=1+(3+3^2+3^3+3^4)+....+(3^{2013}+3^{2014}+3^{2015}+3^{2016})$
$=1+3(1+3+3^2+3^3)+....+3^{2013}(1+3+3^2+3^3)$
$=1+(3+...+3^{2013})(1+3+3^2+3^3)$

$=1+40(3+....+3^{2013})$

$\Rightarrow A-1\vdots 5(2)$

Từ $(1); (2)$ mà $(5,13)=1$ nên $A-1\vdots (5.13)$ hay $A-1\vdots 65$

$\Rightarrow A$ chia $65$ dư $1$