3. Cho nửa đường tròn tâm O và đường kính AB. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O). Từ A và B vè các tiếp tuyến ax và by. Đường thẳng qua N và vuông góc với NM cắt Ax, By thứ tự tại C và D.
a) Chứng minh ACNM và BDNM là các tứ giác nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD
a)xét tứ giác AMNC có CAM^=90(AC là tiếp tuyến của (O)),CNM^=90(NM vuông góc với CD)=>CAM^+CNM^=180
=>AMNC nội tiếp
xét tứ giác BMND có MBD^=90(BD là tiếp tuyến của (O)),MND^=90(MN vuông góc với
với CD)
=>MND^+DBM^=180
=>TỨ GIÁC BDMN nội tiếp
b)ta có CMN^=NAC^( cùng chắn cung CN)
=>CMN^=cung AN /2(1)
ta cũng có NMD^=NBD^(cùng chắn cung ND)
NMD^=cung NB/2(2)
từ (1) và(2) =>CMN+NMD=(cung AN+cung NB)/2
=>CMD=cung AB/2=180/2=90
=>Tam giác CMD vuông tại M
VÌ NMBD nội tiếp =>NDM=NBM(góc nội tiếp cùng chắn cung AM)
MÀ MCD+MDN=90(T/C góc nhọn trong tam giác vuông)
=>MCD+NBM=90(*)
MẶT khác NAB+NBA=90(TAM GIÁC NAB vuông tại N)(**)
Từ (*) và(**)=>MCD=NAB
XÉT tam giác ANB và CMD có
ANB=CMD=90
MCD=NAB
=>Tam giác ANB đồng dạng với tam giác CMD(G-G)
