12.
Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le3.\)
Tính giá trị lớn nhất của biể thức: \(P=\dfrac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{c^2-ac+3a^2+1}}\)
13.
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
14.
Xét các số x, y, z thay đổi thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3-3xyz=2\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)^2+4\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)
12. Ta có \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
=> \(a^2-ab+3b^2+1\ge\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\)
Lại có \(\left(\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}b^2+1\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\ge\left(\frac{a}{2}+\frac{5}{2}b+1\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{a}{4}+\frac{5b}{4}+\frac{1}{2}\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{4}{a+b+b+b+b+b+1+1}\le\frac{4}{64}.\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)\)
Khi đó
\(P\le\frac{1}{16}\left(6\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+6\right)\le\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Vậy \(MaxP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=1
13. Ta có \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)( BĐT cosi)
=> \(1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
=> \(a+b+c\ge6\)
Ta có \(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
=> \(\frac{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}=a-b\)
Tương tự \(\frac{b^3-c^3}{b^2+bc+c^2}=b-c\),,\(\frac{c^3-a^2}{c^2+ac+a^2}=c-a\)
Cộng 3 BT trên ta có
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+c^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{c^2+bc+b^2}+\frac{a^3}{a^2+ac+c^2}\)
Khi đó \(2P=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+...\)
=> \(2P=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}+....\)
Xét \(\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\)
<=> \(3\left(a^2-ab+b^2\right)\ge a^2+ab+b^2\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)(luôn đúng )
=> \(2P\ge\frac{1}{3}\left(a+b+b+c+a+c\right)=\frac{2}{3}.\left(a+b+c\right)\ge4\)
=> \(P\ge2\)
Vậy \(MinP=2\)khi a=b=c=2
Lưu ý : Chỗ .... là tương tự
14.
Ta có \(x^3+y^3+z^3-3xyz=2\)
=> \(\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)=2\)
Đặt \(x+y+z=a,x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=b\left(a,b\ge0\right)\)
=> \(\hept{\begin{cases}ab=2\\P=\frac{1}{2}a^2+4b\end{cases}}\)
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số ta có
\(\frac{1}{2}a^2+2b+2b\ge3\sqrt[3]{2a^2b^2}=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2}a^2=2b\\ab=2\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)thỏa mãn ĐK
Vậy MinP=6 khi a=2, b=1
Câu 13 (cách khác này): Áp dụng BĐT Cauchy-schwazt cho 3 số dương, ta có:
\(1\ge\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge6\)
Áp dụng bđt cô si cho 3 số dương, ta có:
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}\)
Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge b-\frac{b+c}{3}\) \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge c-\frac{c+a}{3}\)
Cộng lại \(\Rightarrow VT\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{a+b+c}{3}\ge2\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2
Câu 12 Cách khác
Ta có: \(a^2-ab+3b^2+1=\left(a-b\right)^2+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\)
\(\ge b^2+ab+2b=b\left(a+b+2\right)\)(Đẳng thức xảy ra khi a = b)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}\)(Đẳng thức xảy ra khi a = b)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}\)(Đẳng thức xảy ra khi b = c)
\(\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)(Đẳng thức xảy ra khi c = a)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:
\(P\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{4b\left(a+b+2\right)}}+\frac{2}{\sqrt{4c\left(b+c+2\right)}}+\frac{2}{\sqrt{4a\left(c+a+2\right)}}\)
\(\le\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+2}\right)+\left(\frac{1}{4c}+\frac{1}{b+c+2}\right)+\left(\frac{1}{4a}+\frac{1}{c+a+2}\right)\)(Áp dụng BĐT Cô - si các các cặp số không âm)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{1}{a+b+2}+\frac{1}{b+c+2}+\frac{1}{c+a+2}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\)
\(\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2}\right)\right]\)
\(\le\frac{3}{4}+\left[\frac{3}{8}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\right]\)
\(=\frac{3}{4}+\left[\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]\le\frac{3}{4}+\left[\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\right]\)
\(=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Xét BĐT phụ: \(\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}\ge\frac{1}{4}\left(a+5b+2\right)\)(*)
\(\Leftrightarrow16\left(a^2-ab+3b^2+1\right)\ge a^2+25b^2+4+10ab+20b+4a\)
\(\Leftrightarrow15a^2+23b^2-26ab-4a-20b+12\ge0\)
\(\Leftrightarrow13\left(a-b\right)^2+2\left(a-1\right)^2+10\left(b-1\right)^2\ge0\)*đúng*Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1*
Áp dụng BĐT (*) và bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\), ta được: \(P\le\frac{4}{a+5b+2}+\frac{4}{b+5c+2}+\frac{4}{c+5a+2}\)\(=\Sigma_{cyc}\frac{4}{\left(a+b+b+b\right)+\left(b+b+1+1\right)}\)
\(\le\Sigma_{cyc}\left[\frac{1}{\left(a+b\right)+\left(b+b\right)}+\frac{1}{\left(b+b\right)+\left(1+1\right)}\right]\)\(\le\frac{1}{4}\text{}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+b}+\frac{1}{b+b}+\frac{1}{1+1}\right)\)
\(\le\frac{1}{16}\Sigma_{cyc}\left(\frac{1}{a}+\frac{5}{b}+2\right)=\frac{1}{16}\left(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}+6\right)\le\frac{1}{16}\left(6.3+6\right)=\frac{3}{2}\)(Vì theo giả thiết thì \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\))
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
